La probabilité de gagner sans jouer est nulle

La problématique

Un événement G ne peut se produire que si l'on s'est au préalable exposé à une action A. Quelle est alors la probabilité de G lorsque l'on ne fait pas A ?

Une objection courante consiste à dire qu'elle est « la même », au motif qu'il faudrait « décorréler » les deux événements. C'est une erreur.

Le principe

Parler de décorrélation suppose deux événements indépendants que l'on pourrait examiner séparément. Ce n'est pas le cas ici : G est un sous-ensemble de A. Sans l'exposition, l'événement G n'existe pas dans l'espace des possibles — il est vide, pas rare.

Autrement dit, on ne compare pas deux valeurs d'une même grandeur variant un peu. Le conditionnement change l'espace des événements lui-même. Ce ne sont pas les mêmes conditions, donc ce n'est pas le même calcul.

La formalisation

Soit G l'événement redouté ou espéré, et A l'action qui l'autorise. Comme G implique A :

G ⊂ A

D'où les deux probabilités conditionnelles :

P(G | A) = p > 0 et P(G | Ā) = 0

Et donc le point central :

P(G | Ā) ≠ P(G | A)

Le test d'indépendance

Si G et A étaient indépendants, on aurait P(G ∩ A) = P(G) × P(A).

Or G ⊂ A entraîne P(G ∩ A) = P(G), ce qui exigerait :

P(G) = P(G) × P(A) ⟹ P(A) = 1

(sauf cas trivial où P(G) = 0). L'indépendance ne tiendrait donc que si l'on faisait A à coup sûr — ce qui vide l'argument de son sens.

La formule des probabilités totales

P(G) = P(G | A) · P(A) + P(G | Ā) · P(Ā) = p · P(A)

La probabilité de l'événement est proportionnelle à la probabilité de s'exposer. Si P(A) = 0, alors P(G) = 0.

Exemple 1 — Le Loto

A = acheter un billet, G = remporter le rang 1.

Le Loto français demande 5 numéros parmi 49, plus 1 numéro Chance parmi 10 :

C(49, 5) × 10 = 1 906 884 × 10 = 19 068 840

P(G | A) = 1 / 19 068 840 et P(G | Ā) = 0

Ce qui varie et ce qui ne varie pas

Une confusion fréquente vient d'une vérité voisine : les tirages sont bien indépendants entre eux. Le tirage de samedi ignore celui de mercredi, et des numéros « qui ne sont pas sortis depuis longtemps » n'ont aucune chance supplémentaire. Mais cette indépendance-là ne se transpose pas à la relation jouer / gagner.

Les numéros choisis ne modifient pas la probabilité de gagner, mais modifient la probabilité de gagner seul : beaucoup de grilles reposent sur des dates (1 à 31) ou des suites régulières. Jouer des numéros dispersés au-delà de 31 ne fait pas gagner plus souvent, mais réduit le partage en cas de gain. C'est la seule « stratégie » qui tienne mathématiquement.

Exemple 2 — L'accident de voiture

A = prendre le volant, G = être responsable d'un accident au volant.

La structure est identique, mais elle éclaire le principe sous un angle différent : ici, l'exposition est un risque que l'on subit plutôt qu'un gain que l'on espère.

P(G | A) = pₖₘ · d et P(G | Ā) = 0

où d est la distance parcourue. Ne pas conduire n'est pas « conduire avec un faible risque » : c'est ne pas conduire.

Deux différences instructives avec le Loto

La définition de l'événement est décisive. Si G devient « être impliqué dans un accident de la route », l'inclusion tombe : un piéton ou un passager peut l'être sans jamais conduire. On aurait alors P(G | Ā) > 0, et la comparaison redeviendrait celle de deux risques, non celle du possible et de l'impossible. Le raisonnement ne vaut que si l'événement est défini de façon à être strictement inclus dans l'action.

La probabilité n'est pas constante. Contrairement au tirage, qui est le même pour tous, p dépend ici de l'heure, de la météo, de l'expérience du conducteur, de la vitesse. L'exposition n'est donc pas seulement binaire : elle est graduable, et sa graduation modifie réellement p. Au Loto, on ne peut rien faire sur p — seulement sur P(A).

L'objection légitime

Dans le cas du Loto, l'écart entre 0 et 1 / 19 068 840 est dérisoire en pratique. Le trajet en voiture pour acheter le billet pèse davantage sur votre espérance de vie que le billet ne pèse sur votre espérance de fortune — ce qui, accessoirement, relie assez joliment les deux exemples.

Mais négligeable et identique ne sont pas synonymes : c'est la différence entre l'improbable et l'impossible. Aucun multiple de zéro n'atteindra jamais un nombre strictement positif, si minuscule soit-il.

L'image qui résume

La probabilité qu'un coureur gagne le marathon est faible. Elle n'est pas la même que celle de quelqu'un resté chez lui. Rester chez soi, ce n'est pas courir avec de mauvaises chances — c'est ne pas courir.