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title: La probabilité de gagner sans jouer est nulle
description: Ne pas jouer n'est pas jouer avec de mauvaises chances : pourquoi P(gagner | ne pas jouer) vaut zéro, et non « la même chose ».
date: 2026-09-07
lang: fr-FR
author: Julien Béranger
model: Claude Opus 5
source: https://julienberanger.com/gagner-sans-jouer
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# La probabilité de gagner sans jouer est nulle

## La problématique

Un événement **G** ne peut se produire que si l'on s'est au préalable exposé à
une action **A**. Quelle est alors la probabilité de G lorsque l'on ne fait pas
A ?

Une objection courante consiste à dire qu'elle est « la même », au motif qu'il
faudrait « décorréler » les deux événements. C'est une erreur.

## Le principe

Parler de décorrélation suppose deux événements indépendants que l'on pourrait
examiner séparément. Ce n'est pas le cas ici : **G est un sous-ensemble de A**.
Sans l'exposition, l'événement G n'existe pas dans l'espace des possibles — il
est vide, pas rare.

Autrement dit, on ne compare pas deux valeurs d'une même grandeur variant un peu.
Le conditionnement change **l'espace des événements lui-même**. Ce ne sont pas
les mêmes conditions, donc ce n'est pas le même calcul.

## La formalisation

Soit **G** l'événement redouté ou espéré, et **A** l'action qui l'autorise.
Comme G implique A :

> **G ⊂ A**

D'où les deux probabilités conditionnelles :

> **P(G | A) = p > 0**  et  **P(G | Ā) = 0**

Et donc le point central :

> **P(G | Ā) ≠ P(G | A)**

### Le test d'indépendance

Si G et A étaient indépendants, on aurait P(G ∩ A) = P(G) × P(A).

Or G ⊂ A entraîne P(G ∩ A) = P(G), ce qui exigerait :

> **P(G) = P(G) × P(A)  ⟹  P(A) = 1**

(sauf cas trivial où P(G) = 0). L'indépendance ne tiendrait donc que si l'on
faisait A à coup sûr — ce qui vide l'argument de son sens.

### La formule des probabilités totales

> **P(G) = P(G | A) · P(A) + P(G | Ā) · P(Ā) = p · P(A)**

La probabilité de l'événement est **proportionnelle** à la probabilité de
s'exposer. Si P(A) = 0, alors P(G) = 0.

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## Exemple 1 — Le Loto

**A** = acheter un billet, **G** = remporter le rang 1.

Le Loto français demande 5 numéros parmi 49, plus 1 numéro Chance parmi 10 :

> **C(49, 5) × 10 = 1 906 884 × 10 = 19 068 840**

> **P(G | A) = 1 / 19 068 840**  et  **P(G | Ā) = 0**

### Ce qui varie et ce qui ne varie pas

| Élément | Varie selon le tirage ? |
|---|---|
| Probabilité de gagner (avec un billet) | Non — toujours 1 / 19 068 840 |
| Montant de la cagnotte | Oui |
| Nombre de joueurs, donc risque de partage | Oui |
| Espérance de gain | Oui, via les deux lignes ci-dessus |

Une confusion fréquente vient d'une vérité voisine : les **tirages** sont bien
indépendants entre eux. Le tirage de samedi ignore celui de mercredi, et des
numéros « qui ne sont pas sortis depuis longtemps » n'ont aucune chance
supplémentaire. Mais cette indépendance-là ne se transpose pas à la relation
jouer / gagner.

Les numéros choisis ne modifient pas la probabilité de gagner, mais modifient la
probabilité de gagner **seul** : beaucoup de grilles reposent sur des dates
(1 à 31) ou des suites régulières. Jouer des numéros dispersés au-delà de 31 ne
fait pas gagner plus souvent, mais réduit le partage en cas de gain. C'est la
seule « stratégie » qui tienne mathématiquement.

## Exemple 2 — L'accident de voiture

**A** = prendre le volant, **G** = être responsable d'un accident au volant.

La structure est identique, mais elle éclaire le principe sous un angle
différent : ici, l'exposition est un risque que l'on subit plutôt qu'un gain que
l'on espère.

> **P(G | A) = pₖₘ · d**  et  **P(G | Ā) = 0**

où *d* est la distance parcourue. Ne pas conduire n'est pas « conduire avec un
faible risque » : c'est ne pas conduire.

### Deux différences instructives avec le Loto

**La définition de l'événement est décisive.** Si G devient « être impliqué dans
un accident de la route », l'inclusion tombe : un piéton ou un passager peut
l'être sans jamais conduire. On aurait alors P(G | Ā) > 0, et la
comparaison redeviendrait celle de deux risques, non celle du possible et de
l'impossible. Le raisonnement ne vaut que si l'événement est défini de façon à
être strictement inclus dans l'action.

**La probabilité n'est pas constante.** Contrairement au tirage, qui est le même
pour tous, *p* dépend ici de l'heure, de la météo, de l'expérience du conducteur,
de la vitesse. L'exposition n'est donc pas seulement binaire : elle est graduable,
et sa graduation modifie réellement *p*. Au Loto, on ne peut rien faire sur *p* —
seulement sur P(A).

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## L'objection légitime

Dans le cas du Loto, l'écart entre 0 et 1 / 19 068 840 est dérisoire en pratique.
Le trajet en voiture pour acheter le billet pèse davantage sur votre espérance de
vie que le billet ne pèse sur votre espérance de fortune — ce qui, accessoirement,
relie assez joliment les deux exemples.

Mais **négligeable** et **identique** ne sont pas synonymes : c'est la différence
entre l'improbable et l'impossible. Aucun multiple de zéro n'atteindra jamais un
nombre strictement positif, si minuscule soit-il.

## L'image qui résume

La probabilité qu'un coureur gagne le marathon est faible. Elle n'est pas la même
que celle de quelqu'un resté chez lui. Rester chez soi, ce n'est pas courir avec
de mauvaises chances — c'est ne pas courir.